题目内容
在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：
所围成的封闭图形的面积为
，曲线C1上的点到原点O的最短距离为
．以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2．
（1）求椭圆C2的标准方程；
（2）设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点（与O不重合）．
①若MO＝2OA，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；
②若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．
所围成的封闭图形的面积为
，曲线C1上的点到原点O的最短距离为
．以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2．（1）求椭圆C2的标准方程；
（2）设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点（与O不重合）．
①若MO＝2OA，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；
②若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．
（1）
;（2）①
;②
．
;（2）①
;②
．试题分析：（1）对于曲线C1：
的处理，关键问题是两个绝对值的处理，根据x,y的特点，不难发现与坐标系中的四个象限有关，进而即可得到
，即可得出椭圆方程; （2）①由l是线段AB的垂直平分线，可转化为：
，又由MO＝2OA，可转化得到：
，这样的好处是两条件均转化为向量了，设出点M和点A的坐标即可得到关系：
解出
再利用点M在所求椭圆上即可求出：
;②中要求△AMB的面积的最小值，根据此地三角形的特点，不难想到直线AB的设出，根据斜率是否存在，可先考虑两种特殊情况：一种不存在;另一种为0，再考虑一般情形，运用方程组思想即可得：
和
，进而表示出面积：
，最后结合不等式知识即可求出最小值．试题解析：（1）由题意得
又
，解得
，
． 因此所求椭圆的标准方程为
． 4分（2）①设
，
，则由题设知：，．即
解得 8分因为点
在椭圆C2上，所以，即
，亦即．所以点M的轨迹方程为
． 10分②假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)．
解方程组
得
，
，所以
，.又
解得
，
，所以． 12分由于
，当且仅当
时等号成立，即k＝±1时等号成立，此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝
． 15分当k＝0，S△AMB
；当k不存在时，S△AMB
．综上所述，△AMB面积的最小值为
． 16分
练习册系列答案
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(a>b>0)的离心率为
，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2
+2．
，若
，求
的取值范围．
的方程为
，离心率为
，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1，抛物线
的方程为
，抛物线的焦点F与椭圆的一个顶点重合.
的值.
交椭圆
(O为原点)，若点S满足
，判定点S是否在椭圆
经过点
，其左、右顶点分别是
、
，左、右焦点分别是
、
，
（异于
交直线
于
、
两点,若
成等比数列.
为直径的圆过点
的椭圆
上求一点Q，使该点到直线（
的距离最大。
为焦点的椭圆上的一点,过焦点
作
的外角平分线的垂线,垂足为M点,则点M的轨迹是（ ）
、
分别是椭圆
的左、右焦点，点
在椭圆
上，线段
的中点在
轴上，若
，则椭圆的离心率为（ ）
＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足
＋
≤1，则PF1＋PF2的取值范围为________．