Question

已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当，在焦点在轴上的椭圆上求一点Q，使该点到直线（的距离最大。
（3）试判断乘积“（”的值是否与点（的位置有关，并证明你的结论；

Answer 1

(1)（或（；(2) （；(3) 的值与点的位置无关

试题分析：（1）注意要分类讨论，顶点是短轴顶点，还是长轴顶点；(2)椭圆上到（距离最大的点是与直线（平行且与椭圆相切的点；（3）利用点P在椭圆上满足椭圆方程，设点P坐标，带入椭圆方程，通过变形，即可知（=，与k无关.
试题解析：（1）双曲线（的左右焦点为（,即（的坐标分别为（.  所以设椭圆的标准方程为（,则（,
且（,所以（,从而（,
所以椭圆（的标准方程为（或（
(2) 当（时，（，故直线（的方程为（即（，
设与（平行的直线方程为：x+2y+m=0，即x=-2y-m，代入椭圆方程得：，
 ，∵求距离最大，∴，代入方程，解得：，∴点Q（；
（3）设则，即 
.所以的值与点的位置无关，恒为.