Question

已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F₁，F₂构成的三角形的周长为2+2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F₂作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．

Answer 1

(1) ； (2)

试题分析：(1)由题设知   椭圆的标准方程为
(2)因为当直线的斜率不存在时， ，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得
通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；
另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.
试题解析：
解：(1)由题意知： ，且 ，                    2分
解得 ，                            3分
椭圆的方程为 .                            4分
(2)由题意得直线 的斜率存在，右焦点 ，可设直线 的方程为： 
由 得 
由题意 
设，则                 6分
由得                               7分
 
 
                                   9分
令 ， 在上单调递增，
可得 
 
故，解得                           2分
 
=                   13分
 
即的取值范围是                         14分