Question

已知平面上的动点P（x，y）及两个定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别为K₁，K₂且K₁K₂=－
(1).求动点P的轨迹C方程；
(2).设直线L：y=kx+m与曲线C交于不同两点，M，N，当OM⊥ON时，求O点到直线L的距离（O为坐标原点）

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、向量的运算、点到直线的距离公式等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及利用解析法、函数与方程思想的解题能力.第一问，利用P、A、B点的坐标，先求出代入到中整理出x，y的关系，即点P的轨迹方程；第二问，设出M、N坐标，令直线与椭圆方程联立，消参得到关于x的方程，由于交于M、N两个点，所以，利用韦达定理，得，，由，利用向量的垂直的充要条件得到的关系式，利用点到直线的距离公式，利用上述的关系式得到数值.
试题解析：（1）设，由已知得，
整理得，即   4分
（2）设M
消去得：
由得
   8分
∵∴
即
∴
∴满足   10分
∴点到的距离为即
∴   12分