Question

4．已知直线l：（a²-a+1）x-（a²+a+1）y-a²+3a-1=0，a∈R
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求当a=1和a=-1时对应的两条直线的夹角．

Answer 1

分析 （1）由直线系方程的逆用联立方程组求解直线l过定点；
（2）a=1和a=-1时，直线的方程分别为x-3y+1=0，3x-y-5=0，利用夹角公式，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵l：（a²-a+1）x-（a²+a+1）y-a²+3a-1=0，
∴（x-y-1）a²+（-x-y+3）a+（x-y-1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{-x-y+3=0}\end{array}\right.$，∴x=2，y=1，
∴直线l恒过定点，定点坐标为（2，1）；
（2）解：a=1和a=-1时，直线的方程分别为x-3y+1=0，3x-y-5=0，
∴tanθ=|$\frac{3-\frac{1}{3}}{1+3•\frac{1}{3}}$|=$\frac{4}{3}$，
∴$θ=arctan\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了直线的一般方程，考查了直线系方程的逆用，考查两条直线的夹角公式，是基础题．