Question

如图，用一块长为2米，宽为1米的矩形木板，在教室的墙角处围出一个直三棱柱的储物角（使木板垂直于地面的两边与墙面贴紧），试问应怎样围才能使储物角的容积最大？并求出这个最大值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：应用题,空间位置关系与距离

分析：求出以木板的宽为三棱柱的高时，围成的三棱柱的体积是多少，
再求出以木板的长为三棱柱的高时，围成的三棱柱的体积是多少，二者比较得出结论．

解答： 解：设木板与一面墙的夹角为θ，以木板宽1为三棱柱的高，
则棱柱的底面积是：
S=

1

2

•2cosθ•2sinθ=sin2θ≤1，当θ=

π

4

时等号成立；
此时棱柱的体积V₁=hS=1×1=1；
若以木板的长2为三棱柱的高，
则最大体积为V₂=2×

1

4

=

1

2

，
∴V₁＞V₂，
∴应取底面为等腰三角形，且高为1时，围成的容积最大．

点评：本题考查了三棱柱的体积计算问题，也考查了实际应用问题，解题的关键是设计出两种围成的三棱柱的方案，是中档题．