Question

16．已知函数f（x）=lnx，g（x）=-$\frac{1}{x}$．
（1）判断曲线y=f（x）与曲线y=g（x）（x＜0）的公共切线（与两曲线均相切）的条数．
（2）若函数F（x）=af（x）-g（x）在区间[$\frac{1}{{e}^{2}}，e$]上有且只有两个零点，求实数a的取值范围，e≈2.718．

Answer 1

分析 （1）设与曲线y=f（x）相切的切线的切点为（x₁，lnx₁），与曲线y=g（x）（x＜0）相切的切线的切点为（x₂，-$\frac{1}{{x}_{2}}$），
求出f（x），g（x）的导数，求得切线的方程，由公切线的含义，斜率相等且纵截距相等，可得方程，再由h（t）=2lnt-$\frac{2}{t}$-1，运用导数判断单调性，由函数零点存在定理，判断零点个数，即可得到公切线的条数；
（2）由题意可得-$\frac{1}{a}$=xlnx在区间[$\frac{1}{{e}^{2}}，e$]上有两个不等的正根，求出xlnx的导数和单调区间，可得极小值也为最小值，进而得到a的范围．

解答 解：（1）设与曲线y=f（x）相切的切线的切点为（x₁，lnx₁），
与曲线y=g（x）（x＜0）相切的切线的切点为（x₂，-$\frac{1}{{x}_{2}}$），
f′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有切线的方程为y-lnx₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$（x-x₁），①
y+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$（x-x₂），②
由公切线可得$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$，且lnx₁-1=-$\frac{2}{{x}_{2}}$，
可得2ln（-x₂）-$\frac{2}{-{x}_{2}}$-1=0，
可令t=-x²，（t＞0），h（t）=2lnt-$\frac{2}{t}$-1，
h′（t）=$\frac{2}{t}$+$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，可得h（t）递增，
由h（2）=2ln2-2＜0，h（3）=2ln3-$\frac{5}{3}$＞0，可得h（t）仅有一个零点，
故公切线的条数为1；
（2）函数F（x）=af（x）-g（x）=alnx+$\frac{1}{x}$，
由题意可得-$\frac{1}{a}$=xlnx在区间[$\frac{1}{{e}^{2}}，e$]上有两个不等的正根，
由m（x）=xlnx的导数为m′（x）=1+lnx，
当x＞e^-1时，m′（x）＞0，m（x）递增，当0＜x＜e^-1时，m′（x）＜0，m（x）递减，
即有x=e^-1处取得最小值，且为-e^-1，
即有-e^-1＜-$\frac{1}{a}$≤-$\frac{2}{{e}^{2}}$，解得e＜a≤$\frac{{e}^{2}}{2}$．
则实数a的取值范围是（e，$\frac{{e}^{2}}{2}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，注意运用构造函数，求出导数，运用单调性解决，考查运算能力，属于中档题．