Question

5．判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）=$\frac{sinx-tanx}{x}$；
（2）f（x）=lg（1-sinx）-lg（1+sinx）；
（3）f（x）=$\frac{co{s}^{2}x}{1-sinx}$；
（4）f（x）=$\sqrt{1-cosx}$+$\sqrt{cosx-1}$．

Answer 1

分析 （1）（2）（3）（4）先求出函数的定义域，判定是否关于原点对称，其次判定f（-x）与±f（x）的关系，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{sinx-tanx}{x}$，其定义域为{x|x≠$kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，x≠0}，关于原点对称，且f（-x）=$\frac{sin（-x）-tan（-x）}{-x}$=$\frac{sinx-tanx}{x}$=f（x），为偶函数．
（2）f（x）=lg（1-sinx）-lg（1+sinx），其定义域为$\left\{\begin{array}{l}{1-sinx＞0}\\{1+sinx＞0}\end{array}\right.$，化为-1＜sinx＜1，解得$2kπ-\frac{π}{2}$＜x＜$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，其定义域为（$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$），k∈Z，关于原点对称，且f（-x）=lg（1+sinx）-lg（1-sinx）=-f（x），因此是奇函数；
（3）f（x）=$\frac{co{s}^{2}x}{1-sinx}$=$\frac{1-si{n}^{2}x}{1-sinx}$=1+sinx，由1-sinx≠0，解得x≠2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，其定义域为{x|x≠2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z}，关于原点不对称，因此是非奇非偶函数；
（4）f（x）=$\sqrt{1-cosx}$+$\sqrt{cosx-1}$，由$\left\{\begin{array}{l}{1-cosx≥0}\\{cosx-1≥0}\end{array}\right.$，化为cosx=1，解得x=2kπ（k∈Z），其定义域{x|x=2kπ（k∈Z）}关于原点对称，且f（x）=0，因此既是奇函数，又是偶函数．

点评 本题考查了三角函数的化简、函数奇偶性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．