Question

1．已知f（x）是定义在R上的奇函数，x＞0时，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）求f（x）在x∈[-π，0]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质即可得出；
（2）当x=0时，f（0）=0．x∈[-π，0），可得$（2x-\frac{π}{3}）$∈$[-2π-\frac{π}{3}，-\frac{π}{3}）$．利用正弦函数的单调性即可得出f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）$的值域．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，∵x＞0时，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∴f（-x）=sin（-2x+$\frac{π}{3}$）．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
f（x）=-f（-x）=-sin（-2x+$\frac{π}{3}$）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
综上可得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin（2x+\frac{π}{3}），x＞0}\\{0，x=0}\\{sin（2x-\frac{π}{3}），x＜0}\end{array}\right.$．
（2）当x=0时，f（0）=0．
x∈[-π，0），可得$（2x-\frac{π}{3}）$∈$[-2π-\frac{π}{3}，-\frac{π}{3}）$．
f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）$∈[-1，1]．
∴f（x）在x∈[-π，0]上的值域是[-1，1]．

点评 本题考查了正弦函数的单调性、奇函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．