Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ +alnx．
（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ．

因为f（x）在区间[2，3]上单调递增，

所以 ≥0在[2，3]上恒成立，

即 在[2，3]上恒成立，

设 ，则 ，

所以g（x）在[2，3]上单调递减，

故g（x）max=g（2）=﹣7，

所以a≥﹣7；

（Ⅱ）对于任意两个不相等的正数x1、x2有

＞

=

= ，

∴ ，

而 ，

∴ =

= ＞ ，

故： ＞ ，即 ＞1，

∴当a≤4时， ．

【解析】（Ⅰ）将函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，转化为导数函数f'（x）≥0在区间[2，3]上恒成立，从而求得a的取值范围；（Ⅱ）先利用基本不等式求得解题过程中的的关键不等式的取值范围，最后利用斜率公式列出不等式，从而证明当a≤4时，|k|＞1.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和基本不等式的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：才能正确解答此题．