Question

【题目】已知点（2，3）在椭圆 上，设A，B，C分别为椭圆的左顶点、上顶点、下顶点，且点C到直线AB的距离为 ．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）（x1≠x2）为椭圆上的两点，且满足 = ，求证：△MON的面积为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，得直线AB的方程为 ，点C（0，﹣b），

∴点C到直线AB的距离 ，整理，得 ．　①

又点（2，3）在椭圆上，所以 ．　②

联立①②解得 ，

所以椭圆的C的方程为 ．

（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48=0．

∵△=64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣12）=48（12+16k2﹣m2）＞0，∴12+16k2﹣m2＞0，∴ ， ，

∴ ．

又 ，则由题意，得 ，

整理，得3x1x2+4y1y2=0，则 ，

整理，得m2=6+8k2（满足△＞0）．

∵ = ═ …

又点O到直线MN的距离d= ，

∴ = = （定值）．

【解析】（1）由截距式方程得出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式得出等式，再根据点（2,3）再椭圆上，解出a，b的值，得出椭圆方程；（2）设MN的方程，代入椭圆方程消元，得到,根据向量积得到等式,通过距离公式表示三角形面积，推出面积为定值.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．