题目内容
14．已知数列{an}的前n项和为Sn且满足Sn+an=2n．（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．
分析 （1）计算a1，a2，a3，…．猜测an=2-$\frac{1}{2n}$．
（2）利用数学归纳法即可证明．
解答 解：（1）a1=$\frac{3}{2}$，a2=$\frac{7}{4}$，a3=$\frac{15}{8}$，…．
猜测an=2-$\frac{1}{2n}$．
（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；
②假设n=k时，命题成立，即ak=2-$\frac{1}{2k}$，
当n=k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2（k+1）+1，
且a1+a2+…+ak=2k+1-ak
∴2k+1-ak+2ak+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴2ak+1=2+2-$\frac{1}{2k}$，ak+1=2-$\frac{1}{2k+1}$，
即当n=k+1时，命题成立．（11分）
根据①②得n∈N+时，an=2-$\frac{1}{2n}$都成立．
点评 本题考查了递推关系、数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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10．在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B等于（ ）
| A． | -$\frac{1}{2}$ | B． | 1 | C． | -1 | D． | $\frac{1}{2}$ |
5．
将偶数按如图所示的规律排列下去，且用amn表示位于从上到下第m行，从左到右n列的数，比如a22=6，a43=18，若amn=2016，则有 （ ）
将偶数按如图所示的规律排列下去，且用amn表示位于从上到下第m行，从左到右n列的数，比如a22=6，a43=18，若amn=2016，则有 （ ）| A． | m=44，n=28 | B． | m=44，n=29 | C． | m=45，n=28 | D． | m=45，n=29 |
9．观察下列不等式：
$1+\frac{1}{2^3}＜\frac{7}{6}$，
$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}＜\frac{29}{24}$，
$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}＜\frac{49}{40}$，
$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}＜\frac{37}{30}$，
…．
照此规律，第五个不等式为$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{6^3}＜$（ ）
$1+\frac{1}{2^3}＜\frac{7}{6}$，
$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}＜\frac{29}{24}$，
$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}＜\frac{49}{40}$，
$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}＜\frac{37}{30}$，
…．
照此规律，第五个不等式为$1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{6^3}＜$（ ）
| A． | $\frac{26}{21}$ | B． | $\frac{29}{20}$ | C． | $\frac{67}{54}$ | D． | $\frac{95}{78}$ |
4．已知函数y=f（x）的定义R在上的奇函数，当x＜0时f（x）=x+1，那么不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$的解集是（ ）
| A． | $[{0，\frac{3}{2}}）$ | B． | $（{-∞，-\frac{1}{2}}）∪[{0，\frac{3}{2}}）$ | C． | $（{-∞，-\frac{1}{2}}）$ | D． | $（{-∞，-\frac{1}{2}}）∪（{0，\frac{3}{2}}）$ |