Question

已知点M（

6

，

2

）在椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，且椭圆的离心率为

6

3

．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底做等腰三角形，顶点为P（-3，2），求△PAB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由点M（

6

，

2

）在椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，且椭圆的离心率为

6

3

．可得

6

a2

+

2

b2

=1，

c

a

=

6

3

，又a²=b²+c²联立解得即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点N（m，n），直线AB的方程为：y=x+t．与椭圆方程联立可得4x²+6tx+3t²-12=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得m=-

3t

4

，n=

t

4

．利用k_PN=-1，解得t．再利用点到直线的距离公式可得点P到直线AB的距离d．弦长公式|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

，S_△APB=

1

2

d•|AB|即可得出．

解答： 解：（1）∵点M（

6

，

2

）在椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，且椭圆的离心率为

6

3

．
∴

6

a2

+

2

b2

=1，

c

a

=

6

3

，又a²=b²+c²，
解得a²=12，b²=4．
∴椭圆G的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点N（m，n），直线AB的方程为：y=x+t．
联立

y=x+t x2+3y2=12

，化为4x²+6tx+3t²-12=0，
∴x₁+x₂=-

3t

2

=2m，x₁x₂=

3t2-12

4

．
解得m=-

3t

4

，∴n=

t

4

．
∴k_PN=-1=

t 4 -2

- 3t 4 +3

，解得t=2．
∴直线AB的方程为：y=x+2．
∴点P到直线AB的距离d=

|-3-2+2|

2

=

3

2

．
|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(-3)2-4×0]

=3

2

．
∴S_△APB=

1

2

d•|AB|=

1

2

×

3

2

×3

2

=

9

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．