Question

直线l：y=

3

（x-2）和双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，且|AB|=

3

，又l关于直线l₁：y=

b

a

x对称的直线l₂与x轴平行．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）求双曲线C的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,双曲线的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先设双曲线一、三象限渐近线l₁：

x

a

-

y

b

=0的倾斜角为α，根据l和l₂关于直线l₁对称，又AB：y=

3

（x-2），得出tan2α=

3

，利用二倍角公式求得tanα，从而建立关于a，c的相等关系，最后求得双曲线C的离心率；
（2）设所求双曲线的方程，将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．

解答： 解：（1）设双曲线一、三象限渐近线l₁：

x

a

-

y

b

=0 的倾斜角为α，
∵l和l₂关于直线l₁对称，记它们的交点为P．而l₂与x轴平行，
记l₂与y轴交点为Q 依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α（锐角）
又AB：y=

3

（x-2），
故tan2α=

3

  则 

2tanα

1-tan2α

=

3

，求得tanα=

3

3

，
∴

b

a

=

3

3

，e²=

c2

a2

=1+（

b

a

）²=

4

3

，因此双曲线C的离心率为

2 3

3

；
（2）∵

b

a

=

3

3

，故设所求双曲线方程：

x2

3k2

-

y2

k2

=1，
将 y=

3

（x-2），代入 x²-3y²=3k²，
消去y得：8x²-36x+36+3k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=

9

2

，x₁x₂=

36+3k2

8

，
则|AB|=

1+3

•|x₁-x₂|=2•

(x2+x1)2-4x1x2

=2

81 4 - 36+3k2 2

=

3

，
化简求得k²=1．
故所求双曲线C的方程为：

x2

3

-y²=1．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质，考查运算求解能力，考查方程思想．属于中档题．