Question

14．已知函数g（x）=ax²-2ax-1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据g（x）的单调性和最值列方程组解出a，b的值；
（2）分离参数可得k≤（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-$\frac{2}{{2}^{x}}$+1，利用换元法求出右侧函数的最大值即可得出k的范围．

解答 解：（1）g（x）的对称轴为在直线x=1，开口向上，
∴g（x）在区间[2，3]上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b=1}\\{3a-1+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
（2）由（1）可得f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，
∴f（2^x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2，
∵f（2^x）-k•2^x≥0，即${2^x}+\frac{1}{2^x}-2≥k•{2^x}$，
∴$1+{（\frac{1}{2^x}）^2}-2•\frac{1}{2^x}≥k$，
令$\frac{1}{{2}^{x}}$=t，则k≤t²-2t+1，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，记h（t）=t²-2t+1=（t-1）²，
则h（t）在[$\frac{1}{2}$，2]上先减后增，
∵h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，h（2）=1，
∴h（t）_max=h（2）=1，
∴k≤1．

点评 本题考查了函数的单调性，函数存在性问题与函数最值的关系，属于中档题．