Question

2．已知f（x）=|x|（ax+2），当1≤x≤2时，有f（x+a）＜f（x），则实数a的取值范围是（$\sqrt{2}$-2，0）．

Answer 1

分析 讨论x+a的符号，得出关于x的不等式在[1，2]上恒成立，列出不等式组得出a的范围．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-a{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$，
∵f（x+a）＜f（x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（x+a）^{2}+2（x+a）＜a{x}^{2}+2x}\\{x+a≥0}\end{array}\right.$在[1，2]上恒成立，或$\left\{\begin{array}{l}{-a（x+a）^{2}-2（x+a）＜a{x}^{2}+2x}\\{x+a＜0}\end{array}\right.$在[1，2]上恒成立，
（1）若$\left\{\begin{array}{l}{a（x+a）^{2}+2（x+a）＜a{x}^{2}+2x}\\{x+a≥0}\end{array}\right.$在[1，2]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-{a}^{2}-2}{2a}＞2}\\{a≥-1}\end{array}\right.$，解得$\sqrt{2}$-2＜a＜0．
（2）若$\left\{\begin{array}{l}{-a（x+a）^{2}-2（x+a）＜a{x}^{2}+2x}\\{x+a＜0}\end{array}\right.$在[1，2]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}+6a+4＞0}\\{{a}^{3}+14a+8＞0}\\{a＜-2}\end{array}\right.$，无解．
综上，a的取值范围是（$\sqrt{2}$-2，0）．
故答案为：（$\sqrt{2}$-2，0）．

点评 本题考查了函数恒成立问题与函数最值的关系，二次函数的性质，属于中档题．