Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率$e=\frac{1}{2}$，直线l过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到直线l的距离$d=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求出定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率$e=\frac{1}{2}$，直线l过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到直线l的距离$d=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，列出方程组，能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）当k存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$联立，得3x²+4（k²x²+2kmx+m²）-12=0，由此利用韦达定理、直线垂直、点到直线距离公式求出O到直线AB的距离为定值$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．当k不存在时，同理得O到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．由此能证明点O到直线AB的距离为定值$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率$e=\frac{1}{2}$，
直线l过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到直线l的距离$d=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴直线l的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，右焦点F（c，0），且c²=a²-b²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{|bc-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{7}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
证明：（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当k存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，
与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$联立，消去y，得3x²+4（k²x²+2kmx+m²）-12=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k（x₁+m）（kx₂+m）=（k²+1）${x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=0，
∴（k²+1）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，
整理，得7m²=12（k²+1），符合△＞0，
∴O到直线AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴O到直线AB的距离为定值$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
②当k不存在时，同理得O到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
综上，点O到直线AB的距离为定值$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离为定值的证明，考查椭圆、韦达定理、直线垂直、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．