Question

5．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，A（-3，-10），B （-2，-1），C（3，4），
（1）求边AD和CD所在的直线方程；
（2）数列{a_n}的前项和为S_n，点（a_n，S_n）在直线CD上，求证{a_n}为等比数列．

Answer 1

分析 （1）利用两点的坐标求出直线BC的斜率，再利用平行于垂直的关系，求直线AD、CD的方程；
（2）由（1）得a_n与S_n的递推关系，再利用等比数列的定义证明{a_n}是等比数列．

解答 解：（1）如图所示，
直角梯形ABCD中，B （-2，-1），C（3，4），
∴${k_{BC}}=\frac{4+1}{3+2}=1$，
又AD∥BC，∠ADC=90°，
∴k_AD=k_BC=1，${k_{CD}}=-\frac{1}{{{k_{BC}}}}=-1$；…（2分）
又 A（-3，-10），C（3，4），
∴边AD所在的直线方程为y+10=x+3，即x-y-7=0；
边CD所在的直线方程为y-4=-（x-3），即x+y-7=0；…（4分）
（2）由（1）得a_n+S_n-7=0，即S_n=7-a_n，①…（5分）
当n≥2时，S_n-1=7-a_n-1，②
①-②得，a_n=a_n-1-a_n，即${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}$，…（6分）
又当n=1时，S₁=7-a₁，解得${a_1}=\frac{7}{2}$，…（7分）
∴{a_n}是首项为$\frac{7}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．         …（8分）

点评 本题考查了直线的方程与应用问题，也考查了等比数列的定义与应用问题，是综合题．