Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

n+2

3

a_n（n∈N^*），a₁=

1

3

．
①求证：数列{

an

n(n+1)

}为常数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
②设T_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，若对任意的n∈N^*，x∈（0，+∞），不等式T_n＜x-2lnx+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：①由Sn=

n+2

3

an，得Sn-1=

n+1

3

an-1，n≥2，由此证明数列{

an

n(n+1)

}为常数列，且an=

n(n+1)

6

，n∈N^*．
②T_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=6（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

）=6（1-

1

n+1

）＜6，从而x-2lnx+m＞6，即m≥6-x+2lnx对任意的（0，+∞）恒成立，由此结合已知条件求出m≥4+ln4．

解答： ①证明：由Sn=

n+2

3

an，得Sn-1=

n+1

3

an-1，n≥2，
∴a_n=S_n-S_n-1=

n+2

3

an-

n+1

3

an-1，
∴an=

n+1

n-1

an-1，

an

n(n+1)

=

an-1

n(n-1)

，
由a1=

1

3

，得

an

n(n+1)

=

a1

2

=

1

6

．
∴数列{

an

n(n+1)

}为常数列，
∴an=

n(n+1)

6

，n∈N^*．
②T_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=6（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

）
=6（1-

1

n+1

）＜6，
∴x-2lnx+m＞6，即m≥6-x+2lnx对任意的（0，+∞）恒成立，
令f（x）=6-x+2lnx，则f′(x)=-1+

2

x

=

2-x

x

，
当f′（x）=0时，x=2；当f′（x）＞0时，x∈（0，2）；
当f′（x）＜0时，x∈（2，+∞），
∴f（x）的最大值为f（2）=4+2ln2，
故m≥4+ln4．

点评：本题考查常数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．