Question

4．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是不共线的两个非零向量，
（1）若$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，求证：A，B，C三点共线；
（2）若$\overrightarrow{a}$=（-1，1）$\overrightarrow{b}$=（2，1），t∈R，求|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理即可证明；
（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答 （1）证明：$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=-$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=-$\overrightarrow{AB}$，
∴A，B，C三点共线；
（2）解：$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$=（-1，1）+t（2，1）=（2t-1，t+1），
∴|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（2t-1）^{2}+（t+1）^{2}}$=$\sqrt{5（t-\frac{1}{5}）^{2}+\frac{9}{5}}$≥$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．当t=$\frac{1}{5}$时，取到最小值
∴|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|的最小值为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．