Question

7．已知圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的内接圆柱体积的最大值为$\frac{8π}{27}$．

Answer 1

分析 设内接圆柱的底面半径为r，高为h，根据三角形相似找出h与r的关系，然后表示出内接圆柱的体积，最后利用基本不等式求出最值即可，注意等号成立的条件．

解答 解：圆锥的侧面积为2π，底面积为π，
设内接圆柱的底面半径为r，高为h，则圆锥的底面半径1，圆锥的母线长为：l=2，圆锥的高为：$\sqrt{3}$，如右图，
∵△CAB∽△CED，
∴$\frac{ED}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，即$\frac{h}{2}$=$\frac{1-r}{1}$，则h=2-2r，
∴内接圆柱的体积为：
V=πr²h=πr²×（2-2r）=πr•r•（2-2r）≤π（$\frac{r+r+2-2r}{3}$）³=$\frac{8π}{27}$，
当且仅当r=2-2r，即r=$\frac{2}{3}$时取等号，
∴内接圆柱体积的最大值是$\frac{8π}{27}$．
故答案为：$\frac{8π}{27}$．

点评 本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，以及基本不等式在最值中的应用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．