Question

己知函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-

1

2

．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=

x2+2kx+k

x

，对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f（x₁）≤g（x₂）成 立，求正实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出f′（x），得出f′（2）=

1

2

-a=-

1

2

，解出a的值即可，从而f′（x）=

1-x

x

，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；
（2）先求出f （x₁）的最大值为0，只须f （x）_max≤g（x）_max．只须-2

k

+2k≥0，解出即可．

解答： 解：（1）由已知：f′（x）=

1

x

-a，
∴由题知f′（2）=

1

2

-a=-

1

2

，解得a=1，
于是f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
即f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
（2）由（Ⅰ）?x₁∈（0，+∞），f （x₁）≤f （1）=0，即f （x₁）的最大值为0，
由题知：对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f （x₁）≤g（x₂）成立，
只须f （x）_max≤g（x）_max．
∵g（x）=

x2+2kx+k

x

=x+

k

x

+2k=-（-x+

k

-x

）+2k≤-2

k

+2k，
∴只须-2

k

+2k≥0，解得k≥1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，求参数的范围问题，考查了导数的应用，是一道中档题．