Question

如图，△ABC是等边三角形，PA⊥平面ABC，DC∥PA，且DC=AC=2PA=2，E是BD的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥BC；
（Ⅱ）求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥DC，证明BC⊥平面AEF，可得AE⊥BC；
（Ⅱ）利用V_D-PBC=V_B-PCD得点D到平面PBC的距离．

解答： （Ⅰ）证明：取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥DC，…（2分）
∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC，则EF⊥BC；
由△ABC是等边三角形知，AF⊥BC，
∴BC⊥平面AEF，…（4分）
∵AE?平面AEF，∴AE⊥BC．  …（6分）
（Ⅱ）取AC的中点H，连接BH，
∴BH⊥AC，又∵平面PACD⊥平面ABC，
∴BH⊥平面PACD，且BH=

3

；
又PA⊥平面ABC，PA∥DC，DC⊥平面ABC，则，PA⊥AC，…（8分）
由AB=AC=DC=2PA=2知，S_△PCD=

1

2

DC•AC=2，
∴V_B-PCD=

1

3

S_△PCD•BE=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

在Rt△PAF中，可求PF=2，S_△PBC=

1

2

BC•PF=2；          …（10分）
设点D到平面PBC的距离为h，由V_D-PBC=V_B-PCD得：

1

3

 S_△PBC•h=

2 3

3

，∴h=

3

，
即点D到平面PBC的距离为

3

．                         …（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．