Question

已知函数f（x）=

1

|x+2|

+x，若函数g（x）=f（x）-2|x|-m有四个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：函数g（x）=

1

|x+2|

+x-2|x|-m有四个不同的零点可化为y=

1

|x+2|

+x-2|x|与y=m的图象有四个不同的交点，从而化简y=

1

|x+2|

+x-2|x|=

1 -x-2 +3x，x＜-2 1 x+2 +3x，-2＜x＜0 1 x+2 -x，x≥0

；讨论以确定函数的图象的大致形状，从而确定实数m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=

1

|x+2|

+x，
∴g（x）=

1

|x+2|

+x-2|x|-m；
∴函数g（x）=

1

|x+2|

+x-2|x|-m有四个不同的零点可化为
y=

1

|x+2|

+x-2|x|与y=m的图象有四个不同的交点，
y=

1

|x+2|

+x-2|x|=

1 -x-2 +3x，x＜-2 1 x+2 +3x，-2＜x＜0 1 x+2 -x，x≥0

；
当x＜-2时，y=-

1

x+2

+3x是增函数，且可求得y∈R；
当-2＜x＜0时，y=

1

x+2

+3x，
y′=-

1

(x+2)2

+3；
故y=

1

x+2

+3x在（-2，-2+

3

3

）上是减函数，
在（-2+

3

3

，0）上是增函数，
且当x=-2+

3

3

时，y=2

3

-6；
故y≥2

3

-6；
当x≥0时，y=

1

x+2

-x在[0，+∞）上是减函数，
故y≤

1

2

-0=

1

2

；
作其图象如下

结合图象可知，2

3

-6＜m＜

1

2

．

点评：本题考查了函数的零点与方程的关系及函数的图象的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于基础题．