Question

16．已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁₀=45，且a₃，a₅，a₉恰为等比数列{b_n}的前三项，记c_n=（b_n-a_m）（b_n+1-a_m）．
（1）分别求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若m=17，求c_n取得最小值时n的值；
（3）当c₁为数列{c_n}的最小项时，m有相应的可取值，我们把所有a_m的和记为A₁；…；当c_i为数列{c_n}的最小项时，m有相应的可取值，我们把所有a_m的和记为Ai；…，令T_n=A₁+A₂+…A_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{5}}^{2}={a}_{3}•{a}_{9}}\\{{s}_{10}=45}\end{array}\right.$⇒a₁=0，d=1，即可求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若m=17，则c_n=（b_n-a_m）（b_n+1-a_m）=（2ⁿ-16）（2ⁿ⁺¹-16）=2（2ⁿ-12）²-32，当n=3或4时，c_n取得最小值0．
（3）2ⁿ=t_n，则c_n=f（t_n）=2t_n²-3（m-1）t_n+（m-1）²根据二次函数的图象及性质，当c₁最小时，t₁在抛物线的对称轴t_n=$\frac{3（m-1）}{4}$的左右侧都有可能，但t₂≤t₃≤t₄≤…都在对称轴的右侧，必有c₂≤c₃≤c₄≤..，而c₁取得最小值，可得c₁≤c₂，由c₁≤c₂，解得1≤≤5，∴A₁=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=10，同理当c_i（i=2，3，…）取得最小值时，只需c_i-1≥c_i，c_i+1≥c_i
解得2ⁱ+1≤m≤2ⁱ⁺¹+1.${A}_{i}={a}_{{2}^{i}+1}$+${a}_{{2}^{i}+2}$+…+${a}_{{2}^{i+1}+1}$=3•2^2i-1+3•2^i-1，即可求解．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d
可得$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{5}}^{2}={a}_{3}•{a}_{9}}\\{{s}_{10}=45}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+4d）^{2}=（{a}_{1}+2d）（{a}_{1}+8d）}\\{10{a}_{1}+\frac{10×（10-1）}{2}d=45}\end{array}\right.$
⇒a₁=0，d=1，∴a_n=n=1
a₃，a₅，a₉恰分别为2，4，8，则b${\;}_{n}={2}^{n}$
2）若m=17，则c_n=（b_n-a_m）（b_n+1-a_m）=（2ⁿ-16）（2ⁿ⁺¹-16）=2（2ⁿ-12）²-32
当n=3或4时，c_n取得最小值0．
（3）c_n=（b_n-a_m）（b_n+1-a_m）=2ⁿ⁺¹-3（m-1）•2ⁿ+（m-1）²．
令2ⁿ=t_n，则c_n=f（t_n）=2t_n²-3（m-1）t_n+（m-1）²
根据二次函数的图象及性质，当c₁最小时，
t₁在抛物线的对称轴t_n=$\frac{3（m-1）}{4}$的左右侧都有可能，但t₂≤t₃≤t₄≤…都在对称轴的右侧，
必有c₂≤c₃≤c₄≤..，而c₁取得最小值，可得c₁≤c₂
由c₁≤c₂，解得1≤≤5，∴A₁=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=10，
同理当c_i（i=2，3，…）取得最小值时，只需c_i-1≥c_i，c_i+1≥c_i
解得2ⁱ+1≤m≤2ⁱ⁺¹+1．
∴${A}_{i}={a}_{{2}^{i}+1}$+${a}_{{2}^{i}+2}$+…+${a}_{{2}^{i+1}+1}$=3•2^2i-1+3•2^i-1
可得T_n=A₁+A₂+…A_n=2•4ⁿ+3•2ⁿ-4

点评 本题考查了等差数列的通项、求和公式，二次函数的图象及性质，考查了推理能力、转化思想，属于难题．