Question

已知函数f′（x）是函数f（x）的导函数，且满足：①

f(x)-f′(x)

x-1

＞0；②e^xf（1-x）-e^-xf（1+x）=0，设a=ef（1），b=f（2），c=e³f（-1）．则a，b，c的大小顺序为（　　）

• A、a＞b＞c
• B、a＞c＞b
• C、b＞c＞a
• D、b＜a＞c

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据条件，构造函数g（x）=

f(x)

ex-2

，利用函数的单调性研究函数值的大小，即可得到结论

解答： 解：由①知，当x＞1时，f（x）-f′（x）＞0，当x＜1时，f（x）-f′（x）＜0，
设g（x）=

f(x)

ex-2

，则g′（x）=

f′(x)ex-2-f(x)ex-2

(ex-2)2

=

f′(x)-f(x)

ex-2

，
则当x＞1时，g′（x）＜0，此时函数递减，
当x＜1时，g′（x）＞0，此时函数递增，
则a=ef（1）=

f(1)

e-1

=g（1），b=f（2）=

f(2)

e2-2

=g(2)，c=e³f（-1）=

f(-1)

e-3

=g（-1）．
∴g（-1）＜g（1），g（1）＞g（2），则g（1）最大，即a最大．
由e^xf（1-x）-e^-xf（1+x）=0得f（2+x）=f（-x）•e^2+2x，
则g（2）=f（2）=f（0）e²=

f(0)

e-2

=g(0)，
∵g（0）＞g（-1），
∴g（2）＞g（-1），即a＞b＞c，
故选：A

点评：本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性基本方法，恰当构造函数是解题的关键，难度较大．