Question

1．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的短轴端点到右焦点F（1，0）的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于A，B两点，交直线l：x=4于点P，若|PA|=λ₁|AF|，|PB|=λ₂|BF|，求证：λ₁-λ₂为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的短轴端点到右焦点F（1，0）的距离为2，列出方程组，求出a，b，c，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设过F点的直线方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（4，3k），F（1，0），（令x₁＜x₂），推导出${λ}_{1}=\frac{{x}_{1}-4}{1-{x}_{1}}$，${λ}_{2}=\frac{{x}_{2}-4}{1-{x}_{2}}$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能证明λ₁-λ₂为定值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的短轴端点到右焦点F（1，0）的距离为2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，∴c=1，a=2，b²=a²-c²=3，
∴椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
证明：（Ⅱ）设过F点的直线方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（4，3k），F（1，0），（令x₁＜x₂），
$\overrightarrow{PA}$=（x₁-4，y₁-3k），$\overrightarrow{AF}$=（1-x₁，-y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-4，y₂-3k），$\overrightarrow{BF}$=（1-x₂，-y₂），
∵|PA|=λ₁|AF|，|PB|=λ₂|BF|，
∴${λ}_{1}=\frac{{x}_{1}-4}{1-{x}_{1}}$，${λ}_{2}=\frac{{x}_{2}-4}{1-{x}_{2}}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
△＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴λ₁-λ₂=$\frac{{x}_{1}-4}{1-{x}_{1}}$-$\frac{{x}_{2}-4}{1-{x}_{2}}$
=$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{3\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{3\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}}{1-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$
=$\frac{\frac{18}{3+4{k}^{2}}}{\frac{-9}{3+4{k}^{2}}}$=-2．
∴λ₁-λ₂为定值-2．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查代数式的和为定值的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定理、根的判别式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．