Question

2．设$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1（1≤x≤2）\\ \frac{1}{2}{x^2}-1\;（2＜x≤3）\end{array}\right.$，对任意的实数a，记h（a）=max{f（x）-ax|x∈[1，3]}-min{f（x）-ax|x∈[1，3]}．
（1）h（0）=$\frac{5}{2}$．
（2）求h（a）的解析式及最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，计算h（0）的值即可；
（2）设g（x）=f（x）-ax，讨论a的取值，写出对应的h（a）的解析式，再根据h（a）的解析式求出h（a）的最小值．

解答 解：（1）根据题意，得：
h（0）=max{f（x）|x∈[1，3]}-min{f（x）|x∈[1，3]}
=$\frac{7}{2}$-1
=$\frac{5}{2}$；…（1分）
（2）设$g（x）=f（x）-ax=\left\{\begin{array}{l}1-ax，\;x∈[1，2]\\ \frac{1}{2}{x^2}-ax-1，\;x∈（2，3]\end{array}\right.$，
且$\frac{1}{2}{x^2}-ax-1=\frac{1}{2}{（x-a）^2}-\frac{a^2}{2}-1$，
①当a≤0时，f（x）-ax不是单调减函数，
所以$h（a）=f（3）-3a-（f（1）-a）=\frac{5}{2}-2a$；
$g（3）-g（1）=\frac{7}{2}-3a-（1-a）=\frac{5}{2}-2a$；
②当$0＜a≤\frac{5}{4}$时，$h（a）=g（3）-g（2）=\frac{5}{2}-a$；
③当$\frac{5}{4}＜a≤2$时，h（a）=g（1）-g（2）=a；
④当2＜a≤3时，$h（a）=g（1）-g（a）=\frac{a^2}{2}-a+2$；
⑤当3＜a时，$h（a）=g（1）-g（3）=2a-\frac{5}{2}$；
所以h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}-2a，a≤0}\\{\frac{5}{2}-a，0＜a＜\frac{5}{4}}\\{a，\frac{5}{4}≤a≤2}\\{{\frac{1}{2}a}^{2}-a+2，2＜a≤3}\\{2a-\frac{5}{2}，a＞3}\end{array}\right.$；…（4分）
综上，当$a=\frac{5}{4}$时，h（a）取得最小值$\frac{5}{4}$．…（5分）

点评 本题考查了新定义的求函数的解析式与求函数值的应用问题，是较难的题目．