Question

14．已知点F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且过点F的直线y=2x-4与此双曲线只有一个交点，则双曲线的方程为$\frac{5{x}^{2}}{4}$-$\frac{5{y}^{2}}{16}$=1．

Answer 1

分析 由题意可知，F（2，0），直线y=2x-4与双曲线的其中一条渐近线平行，根据斜率之间的关系，即可求出a，b的值，即可求出答案．

解答 解：由2x-4=0，解得x=2，
∴F（2，0），
∵过点F的直线y=2x-4与此双曲线只有一个交点，
∴此直线与渐近线平行，渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
∴$\frac{b}{a}$=2，
即b=2a，
由a²+b²=c²，
得a²=$\frac{4}{5}$，b²=$\frac{16}{5}$，
∴双曲线的方程为$\frac{5{x}^{2}}{4}$-$\frac{5{y}^{2}}{16}$=1，
故答案为：$\frac{5{x}^{2}}{4}$-$\frac{5{y}^{2}}{16}$=1

点评 本题主要考查双曲线方程的计算，根据双曲线渐近线的性质建立条件关系是解决本题的关键．