Question

已知过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点，斜率为

3

4

的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=12.5．
（1）求该抛物线的方程；
（2）若O为坐标原点，C为抛物线上的一点，且

AC

与

OB

共线，求出C点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件设直线方程y=

3

4

x+

p

2

，联立

y= 3 4 x+ p 2 x2=2py

，得x²-

3

2

px-p²=0，再由椭圆弦长公式能求出该抛物线的方程为x²=8y．
（2）联立

y= 3 4 x+2 x2=8y

，得x²-6x-16=0，由已知条件求出A（-2，

1

2

），B（8，8），设C（2

2y

，y），由向量共线的条件能求出C点坐标．

解答： 解：（1）∵过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点，
斜率为

3

4

的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，
∴设直线方程y=

3

4

x+

p

2

，
联立

y= 3 4 x+ p 2 x2=2py

，得x²-

3

2

px-p²=0，
∴x₁+x₂=

3

2

p，x₁x₂=-p²，
∵|AB|=12.5，∴

(1+ 9 16 )[( 3 2 p)2+4p2]

=12.5，解得p=4，
∴该抛物线的方程为x²=8y．
（2）联立

y= 3 4 x+2 x2=8y

，得x²-6x-16=0，
解得

x=-2 y= 1 2

或

x=8 y=8

，
∵直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，
∴A（-2，

1

2

），B（8，8），
设C（2

2y

，y），则

AC

=（2

2y

+2，y-

1

2

），

OB

=(8，8)，
∵

AC

与

OB

共线，
∴

2 2y +2

8

=

y- 1 2

8

，解得y=

25

2

，
∴C点坐标为（10，

25

2

）．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，解题时要注意椭圆弦长公式的合理运用．