Question

下列四个命题：
①定义在[a，b]上的函数y=f（x）在（a，b）内有零点的充要条件是f（a）f（b）＜0；
②关于x的方程x²+ax+2=0一根大于1且另一根小于1的充要条件是a＜-3；
③直线l₁与l₂平行的充要条件是l₁与l₂的斜率相等；
④已知p：椭圆

x2

k-3

+2y²=1的焦点在y轴上，q：双曲线

x2

2k

+

y2

k-4

=1的焦点在x轴上，当p∧q为真时，实数k的取值范围是（0，

7

2

）．
其中正确命题的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：规律型

分析：①根据函数零点存在定理进行判断．
②根据一元二次函数根的分布进行判断即可．
③根据直线平行的充要条件，即可判断．
④根据椭圆和双曲线的定义，以及复合命题的关系即可判断．

解答： 解：①定义在[a，b]上的函数y=f（x）在（a，b）内若f（a）f（b）＜0，则函数f（x）有零点，反之不一定成立，比如f（x）=|x|在[-1，1]存在零点0，但f（-1）f（1）＞0，∴①错误；
②若关于x的方程x²+ax+2=0一根大于1且另一根小于1，则设f（x）=x²+ax+2，则f（1）=3+a＜0，即a＜-3，∴②正确；
③若l₁与l₂的斜率相等，则直线l₁与l₂平行，但l₁与l₂的倾斜角为90°时，满足两直线平行，但l₁与l₂的斜率不存在，∴③错误；
④若椭圆

x2

k-3

+2y²=1的焦点在y轴上，则0＜k-3＜

1

2

，即3＜k＜

7

2

，若双曲线

x2

2k

+

y2

k-4

=1的焦点在x轴上，则

2k＞0 k-4＜0

，即0＜k＜4，
∴当p∧q为真时，p，q同时为真，即

3＜k＜ 7 2 0＜k＜4

，解得3＜k＜

7

2

，∴实数k的取值范围是（3，

7

2

），∴④错误．
故正确的是②，
故选：B．

点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，考查学生的综合知识的应用．