题目内容
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G（Ⅰ）证明：AD∥平面EFGH
（Ⅱ）设AB=2AA1=2a，在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E、F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值．
考点：直线与平面平行的判定,几何概型
专题：综合题,空间位置关系与距离,概率与统计
分析：（Ⅰ）证明AD∥平面EFGH，只需证明AD∥EH；
（Ⅱ）根据几何槪型的概率公式，结合基本不等式求出取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p的最小值，即可求出概率．
（Ⅱ）根据几何槪型的概率公式，结合基本不等式求出取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p的最小值，即可求出概率．
解答：
（Ⅰ）证明：∵AD∥A1D1，EH∥A1D1，
∴AD∥EH，
∵AD?平面EFGH，EH?平面EFGH
∴AD∥平面EFGH；
（Ⅱ）解：根据几何槪型的概率公式可知，点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P=
，
∴若p最小，则只需几何体A1ABFE-D1DCGH的体积最小，即五边形A1ABFE的面积最小，等价为三角形EFB1的面积最大，
∵EF=a，
∴B1E2+B1F2=a2，
则S△B1EF=
B1E•B1F≤
（B1E2+B1F2）=
，当且仅当B1F=B1E时取等号，
此时五边形A1ABFE的面积最小为2a2-
=
，
则取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P=
=
．
∴AD∥EH，
∵AD?平面EFGH，EH?平面EFGH
∴AD∥平面EFGH；
（Ⅱ）解：根据几何槪型的概率公式可知，点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P=
| VA1ABFE-D1DCGH |
| VABCD-A1B1C1D1 |
∴若p最小，则只需几何体A1ABFE-D1DCGH的体积最小，即五边形A1ABFE的面积最小，等价为三角形EFB1的面积最大，
∵EF=a，
∴B1E2+B1F2=a2，
则S△B1EF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| a2 |
| 4 |
此时五边形A1ABFE的面积最小为2a2-
| a2 |
| 4 |
| 7a2 |
| 4 |
则取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P=
| VA1ABFE-D1DCGH |
| VABCD-A1B1C1D1 |
| 7 |
| 8 |
点评：本题主要考查线面平行，考查几何槪型的概率计算，根据体积槪型结合基本不等式求出最值是解决本题的关键．
练习册系列答案
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