Question

已知函数f（x）=（1-x）e^x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设g(x)=

f(x)

x

，证明g（x）有最大值g（t），且-2＜t＜-1．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x），从而求出函数的单调区间，进而求出函数的最值；
（Ⅱ）先求出g（x），g′（x）．设h（x）=-（x²-x+1）e^x+1，则h′（x）=-x（x+1）e^x又h（-2）=1-

7

e2

＞0，h（-1）=1-

3

e

＜0，h（0）=0，从而h（x）在（-2，-1）有零点，找出函数g（x）的单调区间，进而求出函数g（x）的最值，从而解决问题．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-xe^x．
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以f（x）的最大值为f（0）=0．
（Ⅱ）g（x）=

(1-x)ex-1

x

，g′（x）=

-(x2-x+1)ex+1

x2

．
设h（x）=-（x²-x+1）e^x+1，则h′（x）=-x（x+1）e^x．
当x∈（-∞，-1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（-1，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
又h（-2）=1-

7

e2

＞0，h（-1）=1-

3

e

＜0，h（0）=0，
所以h（x）在（-2，-1）有一零点t．
当x∈（-∞，t）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（t，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
由（Ⅰ）知，当x∈（-∞，0）时，g（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0．
因此g（x）有最大值g（t），且-2＜t＜-1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．