题目内容
已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=-
对称，则方程m[f（x）]2+nf（x）+p的根是否关于x=-
对称（a，b，c，m，n，p为任意非零实数）？
| b |
| 2a |
| b |
| 2a |
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：设出m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解，分别求得此时解时f（x）=ax2+bx+c的x的值，进而根据二次函数的性质推断出结论．
解答：
解：设方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解为y1，y2
则必有y1=ax2+bx+c，y2=ax2+bx+c
那么从图象上看，y=y1，y=y2是一条平行于x轴的直线
它们与f（x）有交点
由于对称性，则方程y1=ax2+bx+c的两个解x1，x2要关于直线x=-
对称
同理方程y2=ax2+bx+c的两个解x3，x4也要关于直线x=-
对称，
∴方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0如果有两个根的话一定关于x=-
对称，四个根的话是两两关于x=-
对称．
则必有y1=ax2+bx+c，y2=ax2+bx+c
那么从图象上看，y=y1，y=y2是一条平行于x轴的直线
它们与f（x）有交点
由于对称性，则方程y1=ax2+bx+c的两个解x1，x2要关于直线x=-
| b |
| 2a |
同理方程y2=ax2+bx+c的两个解x3，x4也要关于直线x=-
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| 2a |
∴方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0如果有两个根的话一定关于x=-
| b |
| 2a |
| b |
| 2a |
点评：本题主要考查了二次函数的性质，考查了学生推理和分析的能力．
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