Question

巳知函数f（x）=x²-2ax-2alnx，g（x）=ln²x+2a²，其中x＞0，a∈R．
（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）记F（x）=f（x）+g（x），求证：F(x)≥

1

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据极点的定义很容易求出a的值，由于只是导函数在一点的导数等于0，不能说明这一点是极点，所以求出a之后需验证它是否是极点．
（Ⅱ）由f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，便得到在该区间上f′（x）≥0，然后用x表示a，即得到a≤

x2

x+1

，只需求

x2

x+1

的范围即可．
（Ⅲ）求出F（x）=x²-2ax-2alnx+ln²x+2a²，通过观察F（x）的解析式的形式，能够想到解析式里可能存在完全平方式，所以试着构造完全平方式，结果能构造出完全平方式，并得到：F（x）=2(a-

x+lnx

2

)2+

(x-lnx)2

2

≥

(x-lnx)2

2

，所以只要x-lnx≥1即可，这点的说明，利用求导数，根据单调性判断即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=2x-2a-

2a

x

=

2x2-2ax-2a

x

(x＞0)；
∵x=1是函数f（x）的极值点；
∴f′（1）=2-2a-2a=0，解得a=

1

2

；
经检验x=1为函数f（x）的极值点，所以a=

1

2

．
（II）∵f（x）在区间（2，+∞）上单调递增；
∴f′(x)=

2x2-2ax-2a

x

≥0在区间（2，+∞）上恒成立；
∴a≤

x2

x+1

对区间（2，+∞）恒成立；
令M(x)=

x2

x+1

，则M′(x)=

2x(x+1)-x2

(x+1)2

=

x2+2x

(x+1)2

；
当x∈（2，+∞）时，M′（x）＞0，有M(x)=

x2

x+1

＞M(2)=

4

3

；
∴a的取值范围为(-∞，

4

3

]．                    
（Ⅲ）F（x）=x²-2ax-2alnx+ln²x+2a²=2[a2-(x+lnx)a+

x2+ln2x

2

]；
令P(a)=a2-(x+lnx)a+

x2+ln2x

2

；
则P(a)=(a-

x+lnx

2

)2-(

x+lnx

2

)2+

x2+ln2x

2

=(a-

x+lnx

2

)2+

(x-lnx)2

4

≥

(x-lnx)2

4

；
令Q（x）=x-lnx，则Q′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

；
显然Q（x）在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
则Q（x）_min=Q（1）=1，则P(a)≥

1

4

；
故F(x)≥2×

1

4

=

1

2

．

点评：第一问中的a是比较容易求出的，然而需验证求的a符合题意，这需要理解极值的定义．第二问是根据函数导数符号与函数单调性的关系去求解的，而比较关键的是得到a≤

x2

x+1

．第三问的关键是构造完全平方式，使一个完全平方式里含a，另一个不含a，因为a的值不确定，并且要证的不等式的右边不含a．