Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，点P（

3

，

1

2

）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P(

6

5

，0)作直线l分别交椭圆C于A、B两点，求证：以线段AB为直径的圆恒过椭圆C的右顶点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用离心率，椭圆方程，以及abc的关系，即可求解椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设椭圆C的右顶点为Q，由（Ⅰ）知，Q点坐标为（2，0），当直线的斜率存在时，设直线的方程，将直线的方程代入椭圆方程

x2

4

+y2=1，通过△＞0，设A点坐标为（x_A，y_A），B点坐标为（x_B，y_B），结合韦达定理以及向量的数量积，判断直线垂直．即可得到以AB为直径的圆经过椭圆C的右顶点Q．当直线的斜率不存在时，判断以AB为直径的圆经过椭圆C的右顶点．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得

c

a

=

3

2

，

3

a2

+

( 1 2 )2

b2

=1，
a²=b²+c²
解得a=2，b=1，
所以椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）设椭圆C的右顶点为Q，由（Ⅰ）知，Q点坐标为（2，0）…（5分）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=k(x-

6

5

)，
将直线的方程为y=k(x-

6

5

)，代入椭圆方程

x2

4

+y2=1
整理可得

x2

4

+[k(x-

6

5

)]2=1，
即（25+100k²）x²-240k²x+144k²-100=0…（6分）
∵△＞0设A点坐标为（x_A，y_A），B点坐标为（x_B，y_B），
则A(xA，k(xA-

6

5

))，B(xB，k(xB-

6

5

))
所以xA+xB=

240k2

25+100k2

，xAxB=

144k2-100

25+100k2

…（7分）
∵

QA

=(2-xA，-yA)，

QB

=(2-xB，-yb)，
∴

QA

•

QB

=(2-xA)•(2-xB)+yA•yB…（8分）
=4-2xA-2xB+xAxB+k2(xA-

6

5

)(xB-

6

5

)
=4-(2+

6

5

k2)

240k2

25+100k2

+(1+k2)

144k2-100

25+100k2

+

36

25

k2=4-

400k2+100

25+100k2

=0，
∴

QA

⊥

QB

即以AB为直径的圆经过椭圆C的右顶点Q．…（10分）
当直线的斜率不存在时，A(

6

5

，

4

5

)，B(

6

5

，-

4

5

)，

QA

⊥

QB

符合题意．
故以AB为直径的圆经过椭圆C的右顶点．…（12分）．

点评：本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．