Question

已知函数f（x）=ax²-4x+2，函数g（x）=（

1

3

）^f（x）
（1）若f（2-x）=f（2+x），求f（x）的解析式；
（2）若g（x）有最大值9，求a的值，并求出g（x）的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（2-x）=f（2+x）知f（x）的对称轴为x=2，从而得到

4

2a

=2，从而解得；
（2）由g(x)=(

1

3

)f(x)有最大值9，又由y=(

1

3

)t为减函数知f（x）=ax²-4x+2有最小值-2，从而求函数g(x)=(

1

3

)f(x)的值域．

解答： 解：（1）∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）的对称轴为x=2，
即

4

2a

=2，即a=1．
∴所求f（x）=x²-4x+2．
（2）由已知：g(x)=(

1

3

)f(x)有最大值9，
又y=(

1

3

)t为减函数，
∴f（x）=ax²-4x+2有最小值-2，
∴

a＞0 4a×2-42 4a =-2

解得a=1，
f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2≥-2；
∴函数g(x)=(

1

3

)f(x)的值域为（0，9]．

点评：本题考查了复合函数的单调性与值域的求法，属于基础题．