题目内容
已知长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球半径为4，则△AA1B，△ABD，△AA1D的面积之和的最大值为 ．
考点：基本不等式在最值问题中的应用
专题：计算题,不等式的解法及应用
分析：设长方体长，宽，高分别为a，b，c．由已知可得长方体体对角线长为8，即a2+b2+c2=8，由柯西不等式公式有（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得ab+bc+ac≤8，即可求出△AA1B，△ABD，△AA1D的面积之和的最大值．
解答：
解：设长方体长，宽，高分别为a，b，c．由已知可得长方体体对角线长为8，即a2+b2+c2=8，
由柯西不等式公式有（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
即a2+b2+c2≥ab+bc+ac，即ab+bc+ac≤8，
又△AA1B，△ABD，△AA1D的面积之和为S=
（ab+bc+ac）≤4，
所以△AA1B，△ABD，△AA1D的面积之和的最大值为4．
由柯西不等式公式有（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
即a2+b2+c2≥ab+bc+ac，即ab+bc+ac≤8，
又△AA1B，△ABD，△AA1D的面积之和为S=
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所以△AA1B，△ABD，△AA1D的面积之和的最大值为4．
点评：本题考查求△AA1B，△ABD，△AA1D的面积之和的最大值，考查柯西不等式公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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A、 |
B、 |
C、 |
D、 |