Question

已知抛物线C：x²=4y与点M（

3

2

，-1），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若

MA

•

MB

=0，则直线AB与抛物线C围成的面积为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,定积分

专题：导数的综合应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线C：x²=4y焦点为（0，1），由抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用

MA

•

MB

=0，求出直线的斜率，利用积分的几何意义即可求出区域面积．

解答： 解：由抛物线C：x²=4y得焦点（0，1），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=kx+1，
联立

x2=4y y=kx+1

，得到x²-4kx-4=0，△＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
又

MA

=(x1-

3

2

，y1+1)，

MB

=(x2-

3

2

，y2+1)，
∴

MA

•

MB

=(x1-

3

2

，y1+1)?(x2-

3

2

，y2+1)=（k²+1）x₁x₂+（2k-

3

2

）（x₁+x₂）+

25

4

=-4（k²+1）+4k（2k-

3

2

）+

25

4

=0，
整理得（4k-3）²=0，
解得k=

3

4

．
∴直线方程为y=

3

4

x+1．
∴x₁+x₂=4k=3，x₁x₂=-4．
解得x₁，=-1，x₂=4．
∴直线AB与抛物线C围成的面积为

∫

4 -1

(

3

4

x+

x2

4

)dx=(

3

8

x2+

1

12

x3)

|

4 -1

=

125

24

．
故答案为：

125

24

．

点评：本题综合考查了抛物线的性质、直线与抛物线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的数量积运算等基础知识，考查利用积分求区域面积，涉及的知识点较多，综合性较强，运算量较大．