Question

已知函数f（x）=log₂（|2x+1|+|x+2|-m）．若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：对数函数的值域与最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：不等式f（x）≥1即|2x+1|+|x+2|≥m+2恒成立，令g（x）=|2x+1|+|x+2|，求出函数的最小值，由此求得m的范围．

解答： 解：不等式f（x）≥1恒成立，即|2x+1|+|x+2|≥m+2恒成立，
令g（x）=|2x+1|+|x+2|，则m+2≤g（x）_min恒成立．
∵x＜-2时，g（x）=-2x-1-x-2=-3x-3＞3；
-2≤x≤-

1

2

时，g（x）=-2x-1+x+2=-x+1∈[

3

2

，3]；
x＞-

1

2

时，g（x）=2x+1+x+2=3x+3＞

3

2

；
∴x∈R时，g（x）_min=

3

2

，
∴m+2≤

3

2

，
∴m≤-

1

2

．
故答案为：m≤-

1

2

．

点评：本题主要考查对数函数的图象、性质的应用，函数的恒成立问题，绝对值的意义，求函数的最小值，属于中档题．