Question

已知F₁，F₂为椭圆

x2

100

+

y2

b2

=1（0＜b＜10）的左、右焦点，P是椭圆上一点，若∠F₁PF₂=60°且△F₁PF₂的面积为

64 3

3

，椭圆离心率为（　　）

• A、

  3

  5

• B、

  4

  5

• C、

  9

  25

• D、

  16

  25

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据椭圆的几何性质求得|F₁F₂|，设出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面积公式求解即得b，再由a，b，c的关系，求得c，再由离心率公式即可得到．

解答： 解：设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则由椭圆的定义可得：t₁+t₂=2a①
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
所以t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=4c²②，
由①²-②得3t₁t₂=4a²-4c²=4b²
所以S△PF1F2=

1

2

t₁t₂•sin60°=

1

2

×

1

3

×4b²×

3

2

=

64 3

3

，
∴b=8，c=

100-64

=6，
即有e=

c

a

=

3

5

．
故选A．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程、椭圆的定义和性质，熟练利用解三角形的余弦定理和面积公式求解问题．