Question

定义：函数f（x）与实数m的一种符号运算为：m*f（x）=f（x）[f（x+m）-f（x）]，已知：f（x）=

1

2

x²-3x-

3

4

，g（x）=4*f（x）+

7

2

x²．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）若在x∈[0，2]上，g（x）＞2a-3恒成立，试求实数a的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据定义求出函数g（x）的表达式，然后求函数的导数，即可求g（x）的单调区间；
（2）将不等式g（x）＞2a-3恒成立，转化求g（x）的最小值即可得到结论．

解答： 解：（1）∵g（x）=4*f（x）+

7

2

x²．
∴g（x）=2x³-

21

2

x²+9x+3，
∴g′（x）=6x²-21x+9=3（x-3）（2x-1），
由g′（x）＞0得，x＞3或x＜

1

3

，
∴g（x）的单调递增区间是（-∞，

1

2

），（3，+∞），
令g′（x）＜0⇒

1

2

＜x＜3
∴g（x）的单调递减区间（

1

2

，3）．
（2）由 g（x）＞2a-3对x∈[0，2]上恒成立得g（x）_最小值＞2a-3，
由（1）知g（x）最小值为-5
∴-5＞2a-3，
即a＜-1，
∴a∈（-∞，-1）．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．