Question

函数y=lg（ax+1）在（-∞，1）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：题目给出的函数是复合函数，外层函数对数函数是增函数，要使复合函数在（-∞，1）上单调递减，需要内层函数在（-∞，1）上单调递减，可知a＞0，同时保证在x=1时，ax+1大于等于0，由此列不等式组求解a的取值范围．

解答： 解：令t=ax+1，则原函数化为g（t）=lgt，
外层函数g（t）=lgt为增函数，
要使复合函数f（x）=lg（ax+1）在（-∞，1）上单调递减，
则内层函数t=ax+1在（-∞，1）上单调递减，且
t=ax+1在（-∞，1）上大于0恒成立．
∴

a＜0 1+a≥0

，
解得：-1≤a＜0．
∴使函数y=lg（ax+1）在（-∞，1）上单调递减的a的取值范围是[-1，0）．

点评：本题考查了复合函数的单调性，考查了数学转化思想方法，内层函数为减函数，把ax+1在（-∞，1）上恒大与0转化为当x=1时ax+1大于等于0．此题是中档题．