Question

已知二元函数f（x，θ）=

xcosθ

x2+xsinθ+2

（x∈R，θ∈R），则f（x，θ）的最大值和最小值分别为（　　）

• A、

  7

  7

  ，-

  7

  7

• B、

  7

  ，-

  7

  7

• C、2

  2

  ，-2

  2

• D、2

  2

  ，-

  2

  4

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：当x=0时，f（x，θ）=

xcosθ

x2+xsinθ+2

=0，函数不取最值，当x≠0时，f（x，θ）=

cosθ

x+ 2 x +sinθ

，令u=x+

2

x

，则f=

cosθ

sinθ+u

，其意义为平面上单位圆上动点（cosθ，sinθ）与（-u，0）点连线斜率k的倒数，数形结合后，可得f（x，θ）的最大值和最小值．

解答： 解：当x=0时，f（x，θ）=

xcosθ

x2+xsinθ+2

=0，
当x≠0时，f（x，θ）=

xcosθ

x2+xsinθ+2

=

cosθ

x+ 2 x +sinθ

，
令u=x+

2

x

，则|u|≥2

2

，即u≤-2

2

，或u≥2

2

，
则f=

cosθ

sinθ+u

，其意义为平面上单位圆上动点（cosθ，sinθ）与（-u，0）点连线斜率k的倒数，

∵k∈（-∞，-

7

]∪[

7

，+∞），
故f=

cosθ

sinθ+u

∈[-

7

7

，

7

7

]
故f（x，θ）的最大值和最小值分别为

7

7

，-

7

7

，
故选：A

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中分析出f=

cosθ

sinθ+u

，其意义为平面上单位圆上动点（cosθ，sinθ）与（-u，0）点连线斜率k的倒数，是解答的关键．