Question

12．在平面直角坐标系中，已知点B（1，1），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且l过点A，过点B与直线l平行的直线为l₁，l₁与曲线C相交于两点M，N
（Ⅰ）求曲线C上的点到直线l距离的最小值
（Ⅱ）求|MN|的值．

Answer 1

分析 （I）点A的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，代入可得a=4$\sqrt{2}$．直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展开为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=4$\sqrt{2}$，即可化为直角坐标方程．利用点到直线的距离公式与和差公式、三角函数的单调性即可得出．
（II）设l₁的方程为：x+y+m=0，把B（1，1）代入上述方程可得直线l₁的方程为：x+y-2=0．可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C的普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．利用根与系数的关系及其|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）点A的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，∴a=$4\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}-\frac{π}{4}）$=4$\sqrt{2}$．
∴直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展开为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=4$\sqrt{2}$，化为直角坐标方程：x+y-8=0．
∴曲线C上的点到直线l距离d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+φ）-8|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{8-\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{14}}{2}$，当sin（θ+φ）=1时取等号．
（II）设l₁的方程为：x+y+m=0，把B（1，1）代入上述方程可得：m=-2．
∴直线l₁的方程为：x+y-2=0．可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C的普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
化为：7t²+2$\sqrt{2}$t-10=0，∴t₁+t₂=-$\frac{2\sqrt{2}}{7}$，t₁•t₂=-$\frac{10}{7}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2\sqrt{2}}{7}）^{2}-4×（-\frac{10}{7}）}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、弦长公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．