Question

1．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{7}$，AC=2，则此三棱锥外接球的表面积为8π．

Answer 1

分析 以PA，PB，PC分棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．

解答 解：如图，PA，PB，PC两两垂直，设PC=h，
则PB=$\sqrt{B{C}^{2}-P{C}^{2}}$=$\sqrt{7-{h}^{2}}$，PA=$\sqrt{A{C}^{2}-P{C}^{2}}$=$\sqrt{4-{h}^{2}}$，
∵PA²+PB²=AB²，∴4-h²+7-h²=5，解得h=$\sqrt{3}$，
三棱锥P-ABC，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=$\sqrt{3}$，
∴以PA，PB，PC分棱构造一个长方体，
则这个长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，
∴由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心，
三棱锥的外接球的半径为R=$\frac{\sqrt{1+4+3}}{2}$=$\sqrt{2}$，
所以外接球的表面积为S=4πR²=4$π×（\sqrt{2}）$²=8π．
故答案为：8π．

点评 本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．