Question

20．函数f（x）=（kx+4）lnx-x（x＞1），若f（x）＞0的解集为（s，t），且（s，t）中只有一个整数，则实数k的取值范围为（$\frac{1}{ln3}$-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{2ln2}-1$）．．

Answer 1

分析 令f（x）＞0，得到kx+4＞$\frac{x}{lnx}$，令g（x）=$\frac{x}{lnx}$，结合函数图象求出k的范围即可．

解答 解：令f（x）＞0，得：kx+4＞$\frac{x}{lnx}$，
令g（x）=$\frac{x}{lnx}$，则g′（x）=$\frac{lnx-1}{{（lnx）}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜e，
故g（x）在（1，e）递减，在（e，+∞）递增，
故g（x）≥g（e）=e，
$\left\{\begin{array}{l}{2k+4＜\frac{2}{ln2}}\\{4k+4＜\frac{4}{ln4}}\\{3k+4＞\frac{3}{ln3}}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{ln3}$-$\frac{4}{3}$＜k＜$\frac{1}{2ln2}-1$，
故答案为：（$\frac{1}{ln3}$-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{2ln2}-1$）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道中档题．