Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，AD=

3

，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）求三棱锥E-PAD的体积；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）求出三棱锥E-PAD的高为1，运用体积公式求解即可，（2）转化证明AF⊥面PBC，即可得证PE⊥AF．

解答： 解：（1）∵底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，AD=

3

，点E在边BC上移动．
∴三棱锥E-PAD的高为1
∴三棱锥E-PAD的体积=

1

3

×

1

2

×AD×AP×AB=

1

3

×

1

2

×

3

×1×1=

3

6

，

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
∴BC⊥面PAB，
∵AF?面PAB，
∴BC⊥AF，
∵点F是PB的中点，PA=AB=1，
∴AF⊥PB，
∵PB∩BC=B
∴AF⊥面PBC，
∵PE?面PBC，
∴PE⊥AF．

点评：本题考查了空间几何体的体积计算，几何体中的直线，平面的垂直问题，属于中档题．