Question

已知函数f（x）=|x+2|-2|x-1|
（1）解不等式f（x）≥-2；
（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用,直线与圆

分析：（1）通过对x≤-2，-2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；
（2）在坐标系中，作出f(x)=

x-4，x≤-2 3x，-2＜x＜1 -x+4，x≥1

的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x-a成立，分-a≥2与-a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=|x+2|-2|x-1|≥-2，
当x≤-2时，x-4≥-2，即x≥2，∴x∈∅；
当-2＜x＜1时，3x≥-2，即x≥-

2

3

，∴

2

3

-≤x≤1；
当x≥1时，-x+4≥-2，即x≤6，∴1≤x≤6；
综上，不等式f（x）≥-2的解集为：{x|-

2

3

≤x≤6}     …（5分）
（2）f(x)=

x-4，x≤-2 3x，-2＜x＜1 -x+4，x≥1

，
函数f（x）的图象如图所示：

令y=x-a，-a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，-a=2；
∴当-a≥2，即a≤-2时成立；…（8分）
当-a＜2，即a＞-2时，令-x+4=x-a，得x=2+

a

2

，
∴a≥2+

a

2

，即a≥4时成立，
综上a≤-2或a≥4．…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析能力，突出恒成立问题的考查，属于难题．