Question

17．在△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知abcosC=accosB+bccosA，则sinC•（$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$）的最小值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理、基本不等式可得 3c²=a²+b²≥2ab，即 c²≥$\frac{2}{3}$ab，再利用同角三角函数的基本关系、正弦定理，把sinC•（$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$）化为 $\frac{{c}^{2}}{ab}$，从而得到它的最小值．

解答 解：在△ABC中，∵已知abcosC=accosB+bccosA，∴由余弦定理可得$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2}$+$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2}$，
即 3c²=a²+b²≥2ab，即 c²≥$\frac{2}{3}$ab，当且仅当a=b时，取等号．
则sinC•（$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$）=$\frac{sinCcosA}{sinA}$+$\frac{sinCcosB}{sinB}$=$\frac{sinC（sinAcosB+cosAsinB）}{sinAsinB}$=$\frac{{sin}^{2}C}{sinAsinB}$=$\frac{{c}^{2}}{ab}$≥$\frac{2}{3}$，
即sinC•（$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$）的最小值为$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系，基本不等式的应用，属于中档题．